Cập nhật: 29/08/2020
1.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = -x + sinx
A:
(mathbb{R})
B:
(varnothing )
C:
(1;2)
D:
(left( -infty ;2 ight))
Đáp án: D
Ta có y = -x + sinx tập xác định D = R
(y'=-1+cos xle 0,forall x)
Vậy hàm số luông nghịch biến trên R
2.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (y=frac{2{{x}^{2}}+1}{x}) tại điểm có hoành độ x=1 là:
A:
y =x-2
B:
y =3x +3
C:
y = x +2
D:
y = x +3
Đáp án: C
Viết lại (y=frac{2{{x}^{2}}+1}{x}=2x+frac{1}{x}). Ta có (y'=2-frac{1}{{{x}^{2}}},y'left( 1 ight)=1,yleft( 1 ight)=3)
Phương trình tiếp tuyến tại x=1 là (y=y'left( 1 ight)left( x-1 ight)+yleft( 1 ight)Leftrightarrow y=x+2)
3.
Nếu đường thẳng y = x là tiếp tuyến của parabol f(x)= x2 +bx +c tại điểm (1;1) thì cặp (b;c) là cặp :
A:
(1;1)
B:
(1;-1)
C:
(-1;1)
D:
(-1;-1)
Đáp án: C
Thấy rằng M(1;1) là điểm thuộc đường thẳng y=x không phụ thuộc vào a, b. Bởi vậy, đường thẳng y=x là tiếp tuyến của parbol f(x)= x2 +bx +c tại điểm M(1;1) khi và chỉ khi b= -1 ; c=1. Vậy cặp (b;c)= (-1;1)
4.
Khoảng đồng biến của hàm số y = x3 +x lớn nhất là :
A:
R
B:
(left( 0;+infty ight))
C:
(-2 ; 0)
D:
(left( -infty ;-2 ight))
Đáp án: A
(y'=3{{x}^{2}}+1>0,forall xin mathbb{R})
5.
Một con cá hồi bơi ngược dòng ( từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức E(v)= cv3t trong đó c là hằng số cho trước. E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng:
A:
9 km/h
B:
8 km/h
C:
10 km/h
D:
12 km/h
Đáp án: A
Thời gian cá bơi: (t=frac{300}{v-6}Rightarrow E=c{{v}^{3}}t=c{{v}^{3}}.frac{300}{v-6})
Xét hàm số (E=c{{v}^{3}}.frac{300}{v-6}) (vin left( 6;+infty ight))
(E'=frac{-300.c.{{v}^{3}}}{{{left( v-6 ight)}^{2}}}+frac{900c{{v}^{2}}}{v-6}=0Rightarrow v=9)
Bảng biến thiên:
(Rightarrow {{E}_{min }}Leftrightarrow v=9)
6.
Nếu hàm số f(x)= 2x3 -3x2 -m có các giá trị cực trị trái dầu thì giá trị của m là:
A:
0 và 1
B:
(left( -infty ;0 ight)cup left( 1;+infty ight))
C:
(-1;0)
D:
[0;1]
Đáp án: C
Xét hàm số f(x)= 2x3 -3x2 -m
Ta có (f'left( x ight)=6{{x}^{2}}-6x;f'left( x ight)=0Leftrightarrow x=0) và (x=1.f''left( x ight)=12x-6)
Tại (x=0,f''left( 0 ight)=-6<0) suy ra f(0)=- m là giá trị cực đại của hàm số
Tại (x=1,f''left( 1 ight)=6>0) suy ra f(1)= -(m+1) là giá trị cực tiểu của hàm số
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi m(m+1)< 0 ⇔ -1 < m <0
7.
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x2 +2x +3 trên khoảng [0;3] là:
A:
3
B:
18
C:
2
D:
6
Đáp án: B
Xét hàm số f(x) = x2 +2x +3 trên [0;3]
Ta có (f'left( x ight)=2left( x+1 ight),f'left( x ight)=0Leftrightarrow x=-1 otin left[ 0;3 ight]). Vậy trên [0;3] hàm số không có điểm tới hạn nào nên (underset{left[ 0;3 ight]}{mathop{max }},fleft( x ight)=max left{ fleft( 0 ight);fleft( 3 ight) ight}=max left( 3;18 ight)=18)
Vậy (underset{left[ 0;3 ight]}{mathop{max }},fleft( x ight)=18)
8.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (fleft( x ight)=sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}) là:
A:
( sqrt5)
B:
(2 sqrt2)
C:
2
D:
3
Đáp án: C
Xét hàm số (fleft( x ight)=sqrt{{{x}^{2}}-2x+5})
Tập xác định R . Ta có (fleft( x ight)=sqrt{{{x}^{2}}-2x+5})
Suy ra f(x) nghịch biến trên (left( -infty ;1 ight)) và đồng biến trên (left( 1;+infty ight)) nên x=1 là điểm cực tiểu duy nhất của hàm số trên R . Bởi thế nên (underset{mathbb{R}}{mathop{min }},fleft( x ight)=fleft( 1 ight)=2)
9.
Khoảng có đạo hàm cấp hai nhỏ hơn không của hàm số được gọi là khoảng lõm của hàm số, vậy khoảng lõm của hàm số (fleft( x ight)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}x+1) là:
A:
(left( m;+infty ight))
B:
(left( -infty ;3 ight))
C:
(left( 3;+infty ight))
D:
(left( -infty ;m ight))
Đáp án: D
Xét hàm số (y=fleft( x ight)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}x+1)
Ta có (y'=3{{x}^{2}}-6mx+2{{m}^{2}},y''=6left( x-m ight),y''<0Leftrightarrow 6left( x-m ight)<0Leftrightarrow x<m)
Vậy khoảng lõm của đồ thị là (left( -infty ;m ight))
10.
Cho hàm số (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3left( m+1 ight)x-m-1). Hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu khi:
A:
m <0
B:
m >-1
C:
-1<m < 0
D:
(m<-1cup m>0)
Đáp án: C
Ta có D =R
(y'=3{{x}^{2}}-6x+3left( m+1 ight)=gleft( x ight))
Điều kiện để hàm số có cực trị là (Delta {{'}_{g}}>0Leftrightarrow m<0left( * ight))
Chi y cho y’ ta tính được giá trị cực trị là (fleft( {{x}_{0}} ight)=2m{{x}_{0}})
Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y'= 0, ta có x1x2 = m+1
Hai giá trị cùng dấu nên:
(fleft( {{x}_{1}} ight).fleft( {{x}_{2}} ight)>0Leftrightarrow 2m{{x}_{1}}.2m{{x}_{2}}>0Leftrightarrow m>-1)
Kết hợp vsơi (*), ta có: -1<m < 0
11.
Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A:
(R=sqrt[3]{frac{3}{2pi }})
B:
(R=sqrt[3]{frac{1}{pi }})
C:
(R=sqrt[3]{frac{1}{2pi }})
D:
(R=sqrt[3]{frac{2}{pi }})
Đáp án: C
Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: met)
Ta có: (V=hpi {{R}^{2}}=1 o h=frac{1}{pi {{R}^{2}}})
({{S}_{tp}}=2pi {{R}^{2}}+2pi Rh=2pi {{R}^{2}}+2pi Rfrac{1}{pi {{R}^{2}}}=2pi {{R}^{2}}+frac{2}{R}left( R>0 ight))
Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được (f{{left( R ight)}_{min }}Leftrightarrow R=sqrt[3]{frac{1}{2pi }}Rightarrow h=frac{1}{pi sqrt[3]{frac{1}{4{{pi }^{2}}}}})
Cách 2: Dùng bất đẳng thức:
({{S}_{tp}}=2pi {{R}^{2}}+2pi Rh=2pi {{R}^{2}}+2pi Rfrac{1}{pi {{R}^{2}}}=2pi {{R}^{2}}+frac{1}{R}+frac{1}{R}ge 3sqrt[3]{2pi {{R}^{2}}.frac{1}{R}.frac{1}{R}}=3sqrt[3]{2pi })
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ({{R}^{3}}=frac{1}{2pi })
12.
Tập xác định của hàm số
(y=frac{ln left( {{x}^{2}}-16
ight)}{x-5+sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}})
A:
(left( -infty ;5 ight))
B:
(left( 5;+infty ight))
C:
R
D:
R {5}
Đáp án: B
Viết lại (y=frac{ln left( {{x}^{2}}-16 ight)}{x-5+sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}}=frac{ln left( {{x}^{2}}-16 ight)}{x-5+sqrt{{{left( x-5 ight)}^{2}}}}=frac{ln left( {{x}^{2}}-16 ight)}{x-5+left| x-5 ight|})
Biểu thức (frac{ln left( {{x}^{2}}-16 ight)}{x-5+left| x-5 ight|}) có nghĩa khi và chỉ khi (left{ egin{align} & {{x}^{2}}-16>0 \ & x-5+left| x-5 ight| e 0 \ end{align} ight.)
⇔ x >5
Suy ra hàm số có tập xác định là (left( 5;+infty ight))
13.
Hàm số (y=ln left( {{x}^{2}}+1 ight)+ an 3x) có đạo hàm là:
A:
(frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+3{{ an }^{2}}3x+3)
B:
(frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+{{ an }^{2}}3x)
C:
(2xln left( {{x}^{2}}+1 ight)+{{ an }^{2}}3x)
D:
(2xln left( {{x}^{2}}+1 ight)+3{{ an }^{2}}3x)
Đáp án: A
Ta có: (y'=frac{left( {{x}^{2}}+1 ight)'}{{{x}^{2}}+1}+left( an 3x ight)'=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+3left( 1+{{ an }^{2}}3x ight)=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+3{{ an }^{2}}3x+3)
14.
Giải phương trình y''=0 biết (y={{e}^{x-{{x}^{2}}}})
A:
(x=frac{1-sqrt{2}}{2},x=frac{1+sqrt{2}}{2})
B:
(x=frac{1-sqrt{3}}{3},x=frac{1+sqrt{3}}{3})
C:
(x=frac{-1-sqrt{2}}{2},x=frac{-1+sqrt{2}}{2})
D:
(x=frac{1+sqrt{3}}{3})
Đáp án: A
(y={{e}^{x-{{x}^{2}}}})
Hay (y''=left( 4{{x}^{2}}-4x-1 ight){{e}^{x-{{x}^{2}}}})
(y''=0Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x-1=0)(Leftrightarrow x=frac{2pm 2sqrt{2}}{4}=frac{1pm sqrt{2}}{2})
15.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: (y=sqrt{{{x}^{3}}+2left( 1+sqrt{{{x}^{3}}+1} ight)}+sqrt{{{x}^{3}}+2left( 1-sqrt{{{x}^{3}}+1} ight)}) là:
A:
0
B:
1
C:
2
D:
3
Đáp án: C
(y=sqrt{{{x}^{3}}+2left( 1+sqrt{{{x}^{3}}+1} ight)}+sqrt{{{x}^{3}}+2left( 1-sqrt{{{x}^{3}}+1} ight)})
(Leftrightarrow y=sqrt{{{left( sqrt{{{x}^{3}}+1}+1 ight)}^{2}}}+sqrt{{{left( sqrt{{{x}^{3}}+1}-1 ight)}^{2}}})
(Leftrightarrow y=left| sqrt{{{x}^{3}}+1}+1 ight|+left| sqrt{{{x}^{3}}+1}-1 ight|)
Điều kiện để hàm số xác định