Mặt cầu - khối cầu

- Định nghĩa mặt cầu: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định 1 khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R

-    Mặt cầu như thế thường được kí hiệu là S(O;R). Như vậy:
 S(O;R)={ M/OM=R} 
-    Các thuật ngữ:

Cho mặt cầu S(O;R) và 1 điểm A nào đó
+)    Nếu OA = R thì theo định nghĩa, điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó đoạn thẳng OA cũng được gọi là bán kính của mặt cầu
Nếu OA và OB cùng là bán kính mặt cầu và 3 điểm A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu. Như vậy một mặt cầu được xác định khi biết tâm và bán kính R hoặc khi biết 1 đường kính AB  của nó
+)    Nếu OA < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu
+)    Nếu OA > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu

-    Ví dụ: Cho 2 điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho  (overrightarrow{MA}) . (overrightarrow{MB}) = (overrightarrow{0}) là mặt cầu đường kính AB
Giải: Gọi I là trung điểm AB. Ta có:
 (overrightarrow{MA}).(overrightarrow{MB}) = (overrightarrow{MI})+(overrightarrow{IA})).((overrightarrow{MI})+(overrightarrow{IB}))=((overrightarrow{MI})+(overrightarrow{IA})).((overrightarrow{MI}) - (overrightarrow{IA}) )=MI²−IA²
Suy ra  (overrightarrow{MA}) . (overrightarrow{MB})=(overrightarrow{0})⇔MI=IA=IB
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính R = IA tức là mặt cầu đường kính AB

 * .Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
HV 33/40
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). .Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P) thì d = OH. Khi đó:
-    Nếu d < R thì thì mp(P) cắt mặt cầu S(O:R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P)  có tâm là H và bán kính

1.    Định nghĩa mặt cầu
-    Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định 1 khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R
-    Mặt cầu như thế thường được kí hiệu là S(O;R). Như vậy:
 S(O;R)={ M/OM=R} 
-    Các thuật ngữ:
 
Cho mặt cầu S(O;R) và 1 điểm A nào đó
a)    Nếu OA = R thì theo định nghĩa, điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó đoạn thẳng OA cũng được gọi là bán kính của mặt cầu
Nếu OA và OB cùng là bán kính mặt cầu và 3 điểm A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu. Như vậy một mặt cầu được xác định khi biết tâm và bán kính R hoặc khi biết 1 đường kính AB  của nó
b)    Nếu OA < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu
c)    Nếu OA > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu
-    Ví dụ: Cho 2 điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho  MA−→−.MB−→−=0→ là mặt cầu đường kính AB
Giải: Gọi I là trung điểm AB. Ta có:
 MA−→−.MB−→−=(MI−→−+IA−→).(MI−→−+IB−→)=(MI−→−+IA−→).(MI−→−−IA−→)=MI2−IA2
Suy ra  MA−→−.MB−→−=0→⇔MI=IA=IB
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính R = IA tức là mặt cầu đường kính AB
2.    Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
HV 33/40
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). .Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P) thì d = OH. Khi đó:
-    Nếu d < R thì thì mp(P) cắt mặt cầu S(O:R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P)  có tâm là H và bán kính
 
-    Nếu d = R thì mp(P) cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất H

-    Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O;R)
Khi d = 0 thì mp(P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính R gọi là đường tròn lớn của mặt cầu
Khi d = R thì mp(P) và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H hoặc còn nói mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H, điểm H gọi là điểm tiếp xúc ( hoặc tiếp điểm ) của (P) và mặt cầu

* .Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
     Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng  Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên  Δ  và d = OH là khoảng cách từ O tới  Δ. Ta có:
-    Nếu d < R thì  Δ cắt mặt cầu tại 2 điểm phần biệt

-    Nếu d = R thì  Δ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất

-     Nếu d > R thì  Δ không cắt mặt cầu

Trong trường hợp d = R người ta nói đường thẳng  Δ và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó đường thẳng  Δ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hay còn gọi  Δ là tiếp tuyến của mặt cầu, điểm H gọi là tiếp điểm của  Δ và mặt cầu.

Định lý: Nếu 1 điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì:
+)    Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
+)    Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau
+)    Tập hợp các tiếp điểm là 1 đường tròn nằm trên mặt cầu

* .Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Ta có các công thức sau:
-    Mặt cầu bán kính R có diện tích là:  S=4.π.R2
-    Khối cầu bán kính R có thể tích là :  V=({4over 3}).π.R3