Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Chứng minh: U là trọng tâm tam giác ABD.
-Chứng minh: V là trọng tâm tam giác ACD
-MB = MC
=>U là trọng tâm tam giác ABD.
=>V là trọng tâm tam giác ACD.
Bài 34.3
a)Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC. Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB tại J và cắt AC tại K. Chứng minh: JK = BJ + CK.
b)Đường thẳng qua B vuông góc với BI cắt đường thẳng qua C vuông góc với CI tại điểm I’. Qua I’ kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại J’, cắt AC tại K’. Chứng minh J’K’ = BJ’ + CK’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)Chứng minh tam giác JIB cân tại J, tam giác IKC cân tại K
b)Áp dụng: 2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau.
BI vuông góc BI’ suy ra BI’ là phân giác góc ngoài tại B
Lời giải chi tiết
a)
Ta có: BI là phân giác góc FBC
⇒ góc JBI= góc IBC
Lại có: JK // BC
⇒ góc JIB= góc IBC (2 góc so le trong)
⇒ góc JBI= góc JIB
⇒ΔJIB cân tại J
⇒JI=JB
Chứng minh tương tự: KI = KC
Ta có:
JK=JI+IK=JB+CK
b)
Ta có: BI'⊥BI
⇒BI' là tia phân giác của góc tạo bởi BC và tia đối của tia BA (phân giác góc ngoài tại B)
⇒ góc J'BI'= góc I'BC (Tính chất tia phân giác)
Lại có: BC // J’K’
⇒ góc CBI'= góc BI'J' (2 góc so le trong)
⇒ góc J'BI'= góc BI'J'
⇒ΔJ'BI' cân tại J’
⇒J'B=J'I'
Chứng minh tương tự: K’C = K’I’
Ta có:
J’K’ = J’I’ + I’K’ = BJ’ + CK’ (đpcm)
Bài 34.4
Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và góc BAC=1200. Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi Ax là tia đối của tia AB
-Chứng minh: góc BAD= góc DAC= góc CAx
- Hạ EH⊥Bx;EI⊥AD;EK⊥BC
-Áp dụng điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều 2 cạnh của của góc đó.
Lời giải chi tiết
Gọi Ax là tia đối của tia AB góc CAx=1800− góc BAC=1800−1200=600 (2 góc kề bù)
AD là phân giác góc BAC
⇒góc BAD= góc DAC= góc BAC2=1200/2=600
⇒góc BAD= góc DAC= góc CAx
Hạ EH⊥Bx;EI⊥AD;EK⊥BC
Ta có:
EH = EK (vì BE là phân giác góc ABC)
EH = EI (vì AE là phân giác góc DAx)
⇒EK=EI
Vậy E nằm trên tia phân giác của góc ADC.
Bài 34.5
Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh CM = 2CN
Từ đó suy ra: C là trọng tâm tam giác APN
Lời giải chi tiết
Ta có:
M là trung điểm BC nên BM = CM = 12BC
⇒BC=2CM
C là trung điểm BN nên BC = CN
⇒CN=2CM
Xét tam giác ANP có NM là đường trung tuyến
Mà: CN = 2CM (cmt)
⇒ C là trọng tâm tam giác ANP
⇒ AC, PC là hai tiếp tuyến của tam giác đó
⇒ AC đi qua trung điểm của PN
PC đi qua trung điểm của AN.