Vecto(overrightarrow{n}) ≠ 0 gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của(overrightarrow{n})vuông góc với mặt phẳng (α)
Rõ ràng nếu(overrightarrow{n}) là vecto pháp tuyến của mp(α) thì k(overrightarrow{n}) (k≠0) cũng là vecto pháp tuyến của mp(α)
Trong không gian Oxyz cho mp(α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vecto pháp tuyến(overrightarrow{n})(A;B;C). Vì (overrightarrow{n}) ≠0 nên A2+B2+C2>0. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z)thuộc mp(α) là:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0(1)
Nếu đặt D=−(Ax0+By0+Cz0)
Phương trình (1) trở thành:
Ax+By+Cz+D=0 trong đó A2+B2+C2>0 (2)
Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mp(α) hay nói gọn là phương trình mp(α)
Định lý:
Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình:
Ax+By+Cz+D=0 trong đó A2+B2+C2>0
Đều là phương trình của 1 mặt phẳng xác định
*.Các trường hợp riêng :
Xét mặt phẳng có phương trình:
Ax+By+Cz+D=0 với các hệ số A,B,C,D đều khác 0
Đặt a=({-D over A});b=({-D over B});c=({-D over C}) ta đưa phương trình trên về dạng:
({yover a})+({y over b})+({y over c})=1 (3)
Phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
*.Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (α) và (α′)lần lượt có phương trình:
(α):Ax+By+Cz+D=0(α′):A'x+B′y+C′z+D′=0
+) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A′:B′:C′
+) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi
({A over A'})=({Bover B'})=({C over C'})≠({D over D'})
+) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi:
({A over A'}) = ({Bover B'})= ({C over C'}) = ({D over D'})
*.Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm M0(x0;y0;z0) và mp(α) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0. Khoảng cách từ M0 đến mp(α):
d(M0;(α))= ({|Ax0 + By0 + Cz0 + D| oversqrt{A^2 + B^2 + C^2}})