Đề bài:
Hình vẽ dưới đây mô tả năm đường dẫn khác nhau kết nối năm nút lưới của một lưới ô vuông đơn vị. Bạn hãy cho biết con đường nào trong số những con đường này là con đường ngắn nhất và tính độ dài của nó?
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Gọi X là độ dài đường đi ở đáp án X, dễ thấy B = Min{ A; B; D; E}
Bước 2: Bỏ bớt các đoạn thẳng có độ dài giống nhau để so sánh B với C
Xét hình chữ nhật ABCD kích thước 4 × 2 khi đó so sánh B với C trở thành so sánh độ dài đường gấp khúc AKN=AK+KN với độ dài AO + OC = AC
Cách 1: Trong tam giác AKI có góc AKI tù nên AI > AK (1)
Trong hình thang vuông CIKN dễ thấy cạnh bên IC > KN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC = AI + IC > AK + KN
Cách 2: Kéo dài AK cắt BC tại H, xét tam giác vuông KNH có KH > KN
Tam giác AHC có góc AHC tù nên AC > AH = AK + KH > AK + KN
Kết luận: Đáp án cần tìm là B) với độ dài là:
Bình luận: Đây là dạng bài cực trị độ dài đường gấp khúc khi cố định 2 đầu mút đầu và cuối. Bài toán rất nổi tiếng dạng này là thắt dây giầy: Trong hàng trăm cách thắt dây giày 12 lỗ chia theo 2 hàng song song, cách thắt dây giày nào chỉ cần sợi dây có độ dài ngắn nhất.
Trần Phương