Một con châu chấu muốn vượt qua một chiếc cầu thang có 22 bậc. Biết rằng nó có thể nhảy lên bằng hai cách: "nhảy tiến lên một lần 3 bậc" hoặc "nhảy lùi xuống một lần 4 bậc".
1. (Kangaroo 2012) Nếu bắt đầu nhảy từ bậc sàn, nó cần nhảy ít nhất bao nhiêu lần để có thể dừng lại khi chạm đến bậc thứ 22?
2.(Đề của thầy Trần Phương khi dạy đội tuyển lớp 6 dự thi Toán học trẻ quốc tế IIMC 2021) Có bao nhiêu cách để con châu chấu nhảy với số lần ít nhất từ bậc sàn và dừng lại khi chạm đến bậc thứ 22 theo quy tắc trên.
Lời giải:
1. Giả sử châu chấu có m bước nhảy lùi và các bước nhảy tiến để chạm đến bậc thứ 22, khi đó (22 + 4 x m) chia hết cho 3. Thử lần lượt m = 0, 1, 2...
Ta thấy m = 2 là giá trị nhỏ nhất để 22 + 4 x m = 30 chia hết cho 3.
Như thế, từ bậc sàn châu chấu cần có ít nhất 12 bước nhảy, trong đó có 2 bước nhảy lùi và 10 bước nhảy tiến để chạm đến bậc thứ 22.
2. Giả sử châu chấu có 2 bước nhảy lùi và 10 bước nhảy tiến để chạm đến bậc thứ 22. Như thế, với 12 bước nhảy, châu chấu không bao giờ nhảy thấp hơn bậc sàn và nhảy cao hơn bậc 22. Từ đó, để nhảy từ bậc sàn đến bậc 22, các bước nhảy của châu chấu phải thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện:
- Cặp bước (1,2) đầu tiên và cặp bước (11,12) phải là các cặp 2 bước tiến.
- Cặp bước (3,4) và cặp bước (9,10) không có cặp nào là cặp 2 bước lùi.
Số cách để châu chấu nhảy từ bậc sàn và dừng lại khi chạm đến bậc thứ 22 cũng chính là số cách chọn 2 bước lùi trong 8 bước (từ bước 3 đến bước 10), trong đó cặp bước (3,4) và cặp bước (9,10) không có cặp nào là cặp có 2 bước lùi nên có số cách để châu chấu nhảy là: (8 x 7) : 2 – 2 = 26 (cách).
Trần Phương