Bài 32.1
Cho 2 đường thẳng song song c và d. Chứng minh rằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c (khoảng cách đó được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song c và d).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Lấy M, M’ thuộc c (M khác M’), kẻ MH, M’H’ vuông góc với d.
-Chứng minh: MH = H’M’ (ΔMHH′=ΔH′M′M)
Lời giải chi tiết
Lấy M, M’ thuộc c (M khác M’), kẻ MH, M’H’ vuông góc với d.
Vậy khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c.
Bài 32.2
Cho 2 điểm phân biệt M, M’ ở cùng phía đối với đường thẳng d (M, M’ không thuộc d). Chứng minh rằng nếu M, M’ có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì MM’ song song với d.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Chứng minh: ΔMHH'=ΔH'M'M
Lời giải chi tiết
Kẻ MH⊥d,M'H'⊥d
⇒MH∥M'H'
Xét ΔMHH' và ΔH'M'M có:
MH':chung
MH = H'M' (gt)
Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên
MM'∥d (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song).
Bài 32.3
Dùng thước hai lề ta có thể dựng cặp đường thẳng song song với khoảng cách h không đổi.
Cho góc xOy. Dùng thước hai lề dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Ox và đường thẳng x’ (sao cho x’ cắt Oy) rồi dùng thước hai lề đó, dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Oy và đường thẳng y’ (sao cho y’ cắt Ox).Hai đường thẳng x’ và y’ cắt nhau tại P. Chứng minh rằng tia OP là tia phân giác của góc xOy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Áp dụng: Điểm nằm trong góc và cách đều 2 cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
-Vẽ hình như hình bên và chứng minh khoảng cách từ P đến Ox, Oy là bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có:
P thuộc x’,x cách x’ khoảng bằng h
⇒ P cách x khoảng cách h (chứng minh bài 9.5)
P thuộc y’, y cách y’ khoảng bằng h
⇒ P cách y khoảng bằng h
⇒ P cách đều 2 đường thẳng 0x, Oy
Mà P nằm trong góc xOy (cách dựng)
⇒ P nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Bài 32.5
Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh: ΔBCK=ΔCBI (cạnh huyền – góc nhọn)
Lời giải chi tiết
Kẻ BI⊥AC;CK⊥AB
Xét ΔBCK và ΔCBI có:
BC: cạnh chung
góc BKC= góc CIB=900
góc B= góc C (2 góc ở đáy BC của tam giác cân ABC)
⇒ΔBCK=ΔCBI (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒CK=BI (cạnh tương ứng)
Vậy khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.
Bài 32.6
Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tuỳ ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là một số không đổi
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét khi M trùng B, C và khi M khác B, C
- Kẻ MP⊥AC;MQ⊥AB
-Chứng minh: ΔRBM cân tại R
-Chứng minh: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.
Lời giải chi tiết
TH1:Khi M trùng với B hay C thì tổng khoảng cách đó là BI hoặc CK
Theo bài 9.8: BI = CK
TH2: Khi M khác B, khác C
Kẻ MP⊥AC;MQ⊥AB
⇒Tổng khoảng cách đang xét: MQ + MP
Qua M kẻ MR//AC ; MR cắt BI tại S.
⇒ góc C= góc RMB (2 góc đồng vị)
Mà góc C= góc B
⇒ góc B= góc RMB
⇒ΔRBM cân tại R
MQ là khoảng cách từ M đến RB, BS là khoảng cách từ B đến RM
Theo bài 9.8: MQ = BS
Ta có: MR // AC, MP và SI có độ dài là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó nên MP = SI
Suy ra: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.
Nguồn: Bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức - Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên /
