Bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức - Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 35.2

Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S.Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

-O,S cùng nằm trên đường trung trực PN, chứng minh góc OPS= góc ONS

Lời giải chi tiết

Ta có: O, R nằm trên đường trung trực của PM

⇒OP=OM;RP=RM (1)

⇒ Tam giác OPM cân tại O, tam giác RPM cân tại R.

Bài 35.3

Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh góc BAC=450

Lời giải chi tiết

Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC

⇒BJ⊥AC

Xét ΔAHJ và ΔBCJ có:

⇒ΔAHJ=ΔBCJ(ch−gn)

⇒AJ=BJ (cạnh tương ứng)

Mà tam giác JAB vuông tại J nên JAB là tam giác vuông cân.

Vậy góc BAC=450

a)Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.

b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?

c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điển D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tuỳ ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.

Lời giải chi tiết

a)

Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, M nằm giữa A và C thì: MB = MC

=>AC = AM + MC = AM + MB

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác cho tam giác ABM có:

AM + MB > AB

=>AC > AB.

b)

Điều đảo lại cũng đúng: đường trung trực của BC không thể đi qua A vì nếu thế thì AC = AB,

=>d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B, khi đó AB > AC (cm tương tự câu a) hoặc phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C, lúc đó AC > AB

Mà gt AC > AB nên đường trung trực của đoạn thẳng BC phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C.
c)

Do MB = MC nên MA + MB = MA + MC

Vì M khác D, trong tam giác AMC theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

MA + MC > AC = AD + DC = AD + DB.