Tích phân

Cho hàm số f  liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số
F(b)−F(a)
 được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
(int_a^b f(x)dx)
Trong trường hợp a<b, ta gọi (int_a^b f(x)dx) là tích phân của f trên đoạn [a;b].
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)(mid)_a^bđể chỉ hiệu số F(b)−F(a). Như vậy, nếu F là 1 nguyên hàm của f trên K thì: (int_a^b f(x)dx)=F(x)(mid)_a^b
Vì ∫f(x)dx là 1 nguyên hàm bất kì của F nên ta có
(int_a^b f(x)dx)=F(x)(mid)_a^b

Định lí 1
Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm sốy=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b  là
S=(int_a^b f(x)dx)

Tính chất của tích phân
Định lí  2
Giả sử các hàm số f,g liên tục trên K và a,b,c, là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có
            1) (int_a^a f(x)dx)=0;
            2)(int_a^b f(x)dx)=−(int_b^a f(x)dx)
            3)(int_a^b f(x)dx)+(int_b^cf(x)dx)=(int_a^c f(x)dx)
            4)(int_a^b[ f(x) + g(x)]dx)=(int_b^a f(x)dx)+(int_b^a g(x)dx)
             5)(int_a^b k f(x)dx)=(kint_a^b f(x)dx)với k∈R